Otro de los ejes principales en la tesis es el estudio del grupo de automorfismos que tiene asociado toda cubierta (o envolvente) de un objeto. Este tipo de grupos aparece de forma natural en la teoría clásica de Galois de extensiones de cuerpos, así como en topología algebraica cuando hablamos de morfismos recubridores. Por este motivo los denominamos grupo de Galois (cuando nos referimos a una envolvente) o de coGalois (para el correspondiente a una cubierta). Sobre tales grupos encontramos una reducción no trivial a la hora de calcularlos, lo cual nos permitirá describir su estructura en algunas situaciones. Este es el caso de los grupos de coGalois compactos asociados a cubiertas libres de torsión sobre grupos abelianos, para los cuales hay definida una topología de forma canónica.