Cálculo Variacional. Breve Exposición del Material Teórico y Problemas con Soluciones Detalladas

Argumento de Cálculo Variacional. Breve Exposición del Material Teórico y Problemas con Soluciones Detalladas

En la actualidad, son innumerables las generaciones de científicos e ingenieros que, a nivel mundial, se han formado con la ayuda de los famosos libros de problemas de los geniales pedagogos soviéticos Mijaíl Leóntievich Krasnov, Alexandr Ivánovich Kiseliov y Grigori Ivánovich Makárenko. Todos estos textos han sido reeditados un gran número de veces en ruso, español, inglés, francés, italiano, portugués y otros idiomas. Editorial URSS tiene el honor de continuar la publicación de estos libros, que irrumpieron ya en la historia de la enseñanza de la matemática con todo el derecho de ser considerados "obras clásicas".

La colección de problemas propuesta en este libro cubre los temas fundamentales del cálculo variacional.

Al comienzo de cada sección se exponen las definiciones, teoremas y fórmulas más fundamentales. El libro contiene cerca de 130 ejemplos de problemas tipo detalladamente resueltos.

La obra contiene, asimismo, cerca de 240 ejercicios propuestos, todos ellos acompañados de las respectivas respuestas y, en numerosas ocasiones, de indicaciones para su resolución.

Este libro está dirigido a estudiantes universitarios y de otros centros de formación superior. También se recomienda a los profesionales que deseen restablecer sus conocimientos del cálculo variacional.0 Notaciones y definiciones básicas
1 Extremos de funciones de varias variables
§ 1. Extremo no-condicionado

Condiciones suficientes de extremo estricto

Mé

todo del descenso más rápido (método del gradiente)
§ 2. Extremos condicionados

Definición de extremo condicionado

Método de los multiplicadores de Lagrange

2 Extremo de un funcional
§ 3. Funcional. Variación de un funcional. Propiedades de la variación de un funcional

Definición de funcional. Proximidad de curvas

Continuidad de un funcional

Variación de un funcional

Segunda definición de variación de un funcional

Variación segunda de un funcional

Extremo de un funcional. Condición necesaria de extremo

§ 4. Problema elemental del cálculo variacional

Ecuación de Euler

Casos elementales de integrabilidad de la ecuación de Euler

Problemas variacionales en forma paramétrica

§ 5. Generalizaciones del problema elemental del cálculo variacional

Funcionales dependientes de derivadas de órdenes superiores

Funcionales dependientes de m funciones

Funcionales dependientes de funciones de varias variables independientes

§ 6. Invariancia de la ecuación de Euler
§ 7. Campo de extremales

Familia de curvas uniparamétricas

Condición suficiente de Jacobi de inclusión de una extremal en un campo de extremales central

Condiciones suficientes de Legendre

§ 8. Condiciones suficientes de extremo de un funcional

Condiciones suficientes de Weierstrass

Condiciones suficientes de Legendre

La figuratriz

Condición suficiente de mínimo

§ 9. Extremo condicionado

Problema isoperimétrico

Problema de Lagrange con restricciones

Líneas geodésicas

§ 10. Problemas variacionales con fronteras móviles

Problema elemental con fronteras móviles

Problema con fronteras móviles para funcionales que dependen de dos variables

Distancia geodésica

§ 11. Problemas discontinuos. Variaciones unilaterales

Problemas discontinuos de primer género

Problemas discontinuos de segundo género

Variaciones unilaterales

§ 12. Teoría de Hamilton--Jacobi. Principios variacionales de la mecánica

Forma canónica (hamiltoniana) de las ecuaciones de Euler

Ecuación de Hamilton--Jacobi. Teorema de Jacobi

Principios variacionales de la mecánica

3 Métodos directos del cálculo variacional
§ 13. Método de Euler de diferencias finitas
§ 14. Método de Ritz. Método de Kantoróvich

Método de Ritz

Método de Kantoróvich

§ 15. Métodos variacionales de búsqueda de valores propios y funciones propias

El problema de Sturm--Liouville

Principio de Rayleigh

Respuestas e indicaciones
Índice de materias